Question

11．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，垂足為O，點D為射線BC邊上一動點，作BD的垂直平分線交射線AC于點P，F為垂足，過點D作DE⊥AC于點E，
（1）如圖，當點P落在在AO邊上時，求證：①DE=OP；②AO=DE+OE；
（2）當點P落在OC邊上時，通過在圖②中畫出圖形．猜想出線段AO，DE，OE之間的數量關系；（不必證明）
（3）當點P落在OC邊的延長線上時，直接寫出線段AO，DE，OE之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接DH，根據等腰直角三角形的性質得到BO=AO，∠OBF=45°=∠A，推出PF∥AB，根據平行線的性質得到∠1=∠A═45°=∠2，求得PO=HO，根據線段垂直平分線的性質得到BH=DH，得到∠HDB=∠HBD=45°通過四邊形OEDH是菱形，得到DE=OH=90°即可得到結論；
（2）如圖2，根據等腰直角三角形的性質得到∠A=∠ACB=45°，AO=CO，求得∠DCE=∠ACB=45°推出∠D=∠DCE，證得DE=CE，根據線段的和差即可得到結論；
（3）如圖3，根據等腰直角三角形的性質得到∠A=∠ACB=45°，AO=CO，求得∠DCE=∠ACB=45°推出∠D=∠DCE，證得DE=CE，根據線段的和差即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接DH，
∵AB=BC，BO⊥AC，∠ABC=45°，
∴BO=AO，∠OBF=45°=∠A，
∵⊥BC，AB⊥BC，
∴PF∥AB，
∴∠1=∠A═45°=∠2，
∴PO=HO，
∵PF垂直平分BD，
∴BH=DH，
∴∠HDB=∠HBD=45°，
∴∠BHD=90°=∠DHO，
∵∠HOE=∠OED=90°，
∴四邊形OEDH是矩形，
∴DE=OH=90°，
∵AO=BO，OP=OH，
∴AO-OP=BO-OH
，即AP=BH=DH=OE，
∴AO=OP+AP=OE+DE；

（2）如圖2，∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠A=∠ACB=45°，AO=CO，
∴∠DCE=∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠D=45°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∵OE=OC+CE，
∴OE=AO+DE；

（3）如圖3，
∵AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，
∴∠A=∠ACB=45°，AO=CO，
∴∠DCE=∠ACB=45°，
∵DE⊥AC，
∴∠D=45°，
∴∠D=∠DCE，
∴DE=CE，
∵OE=OC+CE．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質和判定，矩形的判定和性質，線段垂直平分線的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．