Question

8．如圖，BC⊥CA，BC=CA，DC⊥CE，DC=CE，直線BD與AE交于點F，交AC于點G，連接CF．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）求證：BF⊥AE；
（3）請判斷∠CFE與∠CAB的大小關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據垂直的定義得到∠ACB=∠DCE=90°，由角的和差得到∠BCD=∠ACE，即可得到結論；
（2）根據全等三角形的性質得到∠CBD=∠CAE，根據對頂角的性質得到∠BGC=∠AGE，由三角形的內角和即可得到結論；
（3）過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根據全等三角形的性質得到AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，根據三角形的面積公式得到CH=CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到結論．

解答 證明：（1）∵BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CA}\\{∠ACD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD；

（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BGC=∠AGE，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AE；

（3）∠CFE=∠CAB，
過C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，∵△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，S_△ACE=S_△BCD，
∴CH=CI，
∴CF平分∠BFH，
∵BF⊥AE，
∴∠BFH=90°，∠CFE=45°，
∵BC⊥CA，BC=CA，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠CFE=∠CAB．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，角平分線的性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．