Question

5．如圖1，△ABC的兩條中線AD、BE相交于點O
（1）求證：DO：AO=1：2；
（2）連接CO并延長交AB于F，求證：CF也是△ABC的中線；
（3）在（2）中，若∠A=90°，其它條件不變，連接DF交BE于K（如圖2），連接ED，且△EDK∽△CAB，求AC：AB的值．

Answer 1

分析 （1）連接ED，可得ED為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到ED與AB平行，且等于AB的一半，進而得到三角形EOD與三角形AOB相似，且相似比為1：2，即可得證；
（2）設ED與CF交于點G，由三角形GOD與三角形AFO相似，由相似得比例，再由DG與AB平行，得比例，確定出AF=BF，即可得證；
（3）由∠A為直角，得到四邊形AFDE為矩形，可得出三角形EDK與三角形BAE相似，再由三角形EDK與三角形CAB相似，得到三角形BAE與三角形CAB相似，由相似得比例，求出所求之比即可．

解答 （1）證明：連接ED，
∵E、D分別為AC、BC的中點，
∴ED∥AB，且ED=$\frac{1}{2}$AB，
∴△EDO∽△BAO，
∴DO：AO=ED：AB=1：2；
（2）證明：設CF交ED于點G，
由△DGO∽△AFO，得到DG：AF=DO：AO=1：2，
由DG∥AB得DG：BF=CD：CB=1：2，
∴DG：AF=DG：BF，
∴AF=BF，
∴AF也是△ABC的中線；
（3）解：由∠A=90°，得到四邊形AFDE是矩形，
∴△EDK∽△BAE，
∵△EDK∽△CAB，
∴△BAE∽△CAB，
∴AE：AB=AB：AC，
∵AE=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC：AB=$\sqrt{2}$．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，三角形中位線定理，矩形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．