Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，且拋物線經過B(1，0)，C(0，3)兩點，與x軸交于點A.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在拋物線的對稱軸直線上找一點M，使點M到點B的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；

（3）如圖2，點Q為直線AC上方拋物線上一點，若∠CBQ=45°，請求出點Q坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為；（3）點.

【解析】

（1）根據對稱軸方程可得，把B、C坐標代入列方程組求出a、b、c的值即可得答案；

（2）根據二次函數的對稱性可得A點坐標，設直線AC與對稱軸的交點為M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，為MB+MC的最小值，根據A、C坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得點M的坐標.

（3）設直線BQ交y軸于點H，過點作于點，利用勾股定理可求出BC的長，根據∠CBQ=45°可得HM=BM，利用∠OCB的正切函數可得CM=3HM，即可求出CM、HM的長，利用勾股定理可求出CH的長，即可得H點坐標，利用待定系數法可得直線BH的解析式，聯立直線BQ與拋物線的解析式求出交點坐標即可得點Q坐標.

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，

∴，

∵拋物線經過B(1，0)，C(0，3)兩點，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為.

（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，

∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線，B（0，0），

∴點A坐標為（-3，0），

∵C（0，3），

∴，

解得：，

∴直線解析式為，

設直線與對稱軸的交點為，

∵點A與點B關于對稱軸x=-1對稱，

∴MA=MB，

∴MB+MC=MA+MC=AC，

∴此時的值最小，

當時，y=-1+3=2，

∴當點到點的距離與到點的距離之和最小時的坐標為.

（3）如圖，設直線交軸于點，過點作于點，

∵B（1，0），C（0，3），

∴OB=1，OC=3，BC==，

∴，

∵∠CBQ=45°，

∴△BHM是等腰直角三角形，

∴HM=BM，

∵tan∠OCB=，

∴CM=3HM，

∴BC=MB+CM=4HM=，

解得：，

∴CM=，

∴CH==，

∴OH=OC-CH=3-=，

∴，

設直線BH的解析式為：y=kx+b，

∴，

解得：，

∴的表達式為：，

聯立直線BH與拋物線解析式得，

解得：（舍去）或x=，

當x=時，y==，

∴點Q坐標為（，）.