Question

【題目】如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F．

（1）求證：AE=BE；

（2）判斷BE與EF是否相等嗎，并說明理由；

（3）小李通過操作發現CF=2AB，請問小李的發現是否正確？若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE=EF，理由見解析；（3）小李的發現是正確的，理由見解析

【解析】

（1）如圖1，連接AP，由BC是半⊙O的直徑，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根據圓周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出結論；

（2）根據圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；

（3）根據全等三角形的性質和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．

（1）如圖1，連接AP，

∵BC是半⊙O的直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=90°，

∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ACB=∠BAD，

∵點A是弧BP的中點，

∴∠P=∠ACB=∠ABP，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE=BE；

（2）BE=EF，

理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

∵A為弧BP中點，

∴∠ABP=∠ACB，

∴∠BAD=∠ABP，

∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，

∴EF=AE，

∴BE=EF；

（3）小李的發現是正確的，

理由是：如圖2，延長BA、CP，兩線交于G，

∵P為半圓弧的中點，A是弧BP的中點，

∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，

在△PCF和△PBG中，

，

∴△PCF≌△PBG（ASA），

∴CF=BG，

∵BC為直徑，

∴∠BAC=90°，

∵A為弧BP中點，

∴∠GCA=∠BCA，

在△BAC和△GAC中，

∴△BAC≌△GAC（ASA），

∴AG=AB=BG，

∴CF=2AB．