[題目]已知分別是橢圓的左.右焦點.動點在上.連結并延長至點.使得.設點的軌跡為.(1)求的方程,(2)設為坐標原點.點.連結交于點.若直線的斜率與直線的斜率存在且不為零.證明: 這兩條直線的斜率之比為定值. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網—

【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點，動點在上，連結并延長至點，使得，設點的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)設為坐標原點，點，連結交于點，若直線的斜率與直線的斜率存在且不為零，證明: 這兩條直線的斜率之比為定值.

【答案】（1）；（2）2

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程可得焦點坐標為，由可得，結合點在上可得，設出坐標，利用兩點間距離公式可得結果；（2）設，直線的斜率為，直線的斜率為，利用兩點間斜率計算公式可得，滿足圓的方程，滿足橢圓的方程，當時，可直接計算，當時，由點在直線上，故斜率相等，平方結合等比定理化簡可得，結合，代入可得最后結果.

試題解析：（1）設橢圓的長軸為，短軸長為，焦距為，則，所以.因為，所以，又點在上，故，所以.設，則，化簡得.所以.

（2）設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，，所以.因為，則，同理，當時，或，此時.當時，因為在直線上，則，所以，而，因為，所以，又，可得，所以 .綜上，兩條直線的斜率之比為定值2.

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