Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且．

（1）求證：平面;

（2）求二面角的正弦值;

（3）已知點在棱上，且異面直線與所成角的余弦值為，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）由面面垂直的性質可得直線平面，建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，求出平面的一個法向量，直線的方向向量，由即可得證；

（2）求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用，再利用同角三角函數的平方關系即可得解；

（3）設，由題意即，解出后即可得解.

（1）證明：平面平面，平面平面，平面，，

直線平面，

由題意，以點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正向建立如圖空間直角坐標系，

則，，，，，，

依題意易得是平面的一個法向量，

又，，

又直線平面，平面；

（2），，，

設為平面的一個法向量，

則，即，令可得，

設為平面的一個法向量，

則，即，令 可得，

，二面角的正弦值為；

（3）設，則，又，

，即，

，解得或（舍去）．

故所求線段的長為．