Question

【題目】大學先修課程是在高中開設的具有大學水平的課程，旨在讓學有余力的高中生早接受大學思維方式、學習方法的訓練，為大學學習乃至未來的職業生涯做好準備．某高中成功開設大學先修課程已有兩年，共有人參與學習先修課程，這兩年學習先修課程的學生都參加了高校的自主招生考試（滿分分），結果如下表所示：

分數
人數
參加自主招生獲得通過的概率

（1）這兩年學校共培養出優等生人，根據圖中等高條形圖，填寫相應列聯表，并根據列聯表檢驗能否在犯錯的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優等生有關系？

	優等生	非優等生	總計
學習大學先修課程
沒有學習大學先修課程
總計

（2）已知今年全校有名學生報名學習大學選項課程，并都參加了高校的自主招生考試，以前兩年參加大學先修課程學習成績的頻率作為今年參加大學先修課程學習成績的概率．

（i）在今年參與大學先修課程學習的學生中任取一人，求他獲得高校自主招生通過的概率；

（ii）某班有名學生參加了大學先修課程的學習，設獲得高校自主招生通過的人數為，求的分布列和數學期望．

參考數據：

參考公式：，其中．

Answer 1

【答案】（1）見解析，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優等生有關系．（2）（i）（ii）見解析，

【解析】

（1）作出列聯表，由列聯表求出．從而在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為學習先修課程與優等生有關系．

（2）由題意利用互斥事件概率加法公式能求出他獲得高校自主招生通過的概率．

設獲得高校自主招生通過的人數為，則，由此能求出的分布列，即可求出期望．

解：（1）列聯表如下：

	優等生	非優等生	總計
學習大學先修課程
沒有學習大學先修課程
總計

由列聯表可得，

因此在犯錯誤的概率不超過的前提下認為學習先修課程與優等生有關系．

（2）（i）由題意得所求概率為．

（ii）設獲得高校自主招生通過的人數為，則，

，，，，，

的分布列為:

．