Question

【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.

（1）證明:AC⊥B1D.

（2）求BC1與平面B1C1D所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析.（2）

【解析】

（1）設相交于，通過證明，證得，由此證得，根據平面，證得，由此證得平面，進而證得.

（2）以為空間坐標原點建立空間直角坐標系，通過直線的方向向量和平面的法向量，求得線面角的正弦值.

（1）證明:設AC,BD交于點O,

∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,

又∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=AC,

∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,

∴△AOD≌△COD,∴∠AOD=∠COD=90°,

∴AC⊥BD,

又BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

∴AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BDB1,又B1D平面BDB1,

∴AC⊥B1D.

（2）由（1）知，所以，所以，所以.以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則,，所以，，所以.設平面的法向量為，則，即，令得，設直線與平面所成角為，則

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