Question

【題目】在統計調查中，問卷的設計是一門很大的學問，特別是對一些敏感性問題.例如學生在考試中有無作弊現象，社會上的偷稅漏稅等.更要精心設計問卷.設法消除被調查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題，否則被調查者往往會拒絕冋答，或不提供真實情況，為了調查中學生中的早戀現象，隨機抽出300名學生，調查中使用了兩個問題.①你的學籍號的最后一位數是奇數（學籍號的后四位是序號）；②你是否有早戀現象，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球.摸到兩球同色的學生如實回答第一個問題，摸到兩球異色的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不放，后來在盒子中收到了78個小石子.

（1）你能否估算出中學生早戀人數的百分比？

（2）若從該地區中學生中隨機抽取一個班（40人），設其中恰有個人存在早戀的現象，求的分布列及數學期望.

Answer 1

【答案】(1)；(2)分布列見詳解，數學期望為.

【解析】

（1）先計算出摸兩個球，出現同色和異色的概率，據此計算出回答第一個問題和第二個問題的人數，再根據學籍號最后一位是奇數的概率為，計算出回答第一個問題選擇“是”的同學個數，從而算出回答早戀選擇“是”的同學個數，據此估算百分比即可；

（2）根據題意可知，服從二項分布，結合（1）中所求，寫出分布列，計算出數學期望即可.

（1）從10個球中隨機摸取兩個球，摸到兩球同色的的概率.

故回答第一個問題的人數為人，則回答第二個問題的人數為人；

又學籍號最后一位是奇數還是偶數，是等可能的，

故回答第一個問題，選擇“是”是的同學個數為人，

則回答第二個問題，選擇“是”的同學個數為人，

則中學生早戀人數的百分比為.

（2）根據（1）中所求，可知，且可取值為，

故可得

故的分布列如下所示：

故.