【題目】已知函數
（a∈R，e為自然對數的底數），
，其中
在x=0處的切線方程為y=bx.
（1）求a，b的值；
（2）求證：
；
（3）求證：有且僅有兩個零點.
【答案】（1）
，
；（2）證明見解析；（3）證明見解析
【解析】
（1）求導得到
，
，
，解得答案.
（2）先證明
，
，再證明
，得到
，得到答案.
（3）求導得到，確定導函數單調遞增，故存在
使
，故函數在
上單調遞減，在
上單調遞增，根據零點存在定理得到答案.
（1）
，，
故，，故，.
（2）先證明，設
，則
，函數在
上單調遞減，在
上單調遞減，故
，故恒成立.
再證明，設
，則
，
函數在
上單調遞增，在上單調遞減，故
，
故.
故
，
，
當
時，
，；當
時，易知，
函數
為偶函數，故恒成立，故
.
故，得證.
（3）
，則
，
，
恒成立，
故
單調遞增，
，
，
故存在使，故函數在上單調遞減，在上單調遞增.
，當
時，
，
故函數在上有唯一零點，在上有唯一零點，故有且僅有兩個零點.
陽光試卷單元測試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下面類比推理：
①“若2a<2b，則a<b”類比推出“若a2<b2，則a<b”；
②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”類比推出“
(c≠0)”；
③“a，b∈R，若a－b＝0，則a＝b”類比推出“a，b∈C，若a－b＝0，則a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，則a>b”類比推出“a，b∈C，若a－b>0，則a>b(C為復數集)”．
其中結論正確的個數為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以橢圓的2個焦點與1個短軸端點為頂點的三角形的面積為2
。
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點F，且與橢圓交與A，B兩點，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長度為
，求直線l的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）一個盒子里裝有三張卡片，分別標記有數字
，
，
，這三張卡片除標記的數字外完全相同。隨機有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數字依次記為
，
，
.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的數字滿足
”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的數字，，不完全相同”的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某次數學考試中，小江的成績在90分以上的概率是0.25，在
的概率是0.48，在
的概率是0.11，在
的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.計算：
（1）小江在此次數學考試中取得80分及以上的概率；
（2）小江考試及格（成績不低于60分）的概率.
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