Question

【題目】如圖1，在等腰梯形中，，，，為的中點.現分別沿，將和折起，點折至點，點折至點，使得平面平面，平面平面，連接，如圖2.

（Ⅰ）若平面內的動點滿足平面，作出點的軌跡并證明；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）點的軌跡是直線.見解析，（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接，，，由線面平行的判定定理證明平面，再由面面垂直的判定定理證明平面平面，最后由面面平行的判定定理證明平面平面，即可得到點的軌跡；

（Ⅱ）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求平面與平面所成銳二面角的余弦值即可.

（Ⅰ）如圖，取和的中點和，

則點的軌跡是直線.

證明如下：

連接，，，則，

又平面，平面，

∴平面.

依題意知，，，為正三角形，

∴.

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，

∴平面平面，

當平面時，平面

∴點的軌跡是直線.

（Ⅱ）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系.

則平面的一個法向量為，

，，，

∴，，

設平面的一個法向量為，

則，

令，得，，

∴，

設所求二面角為，

∴.