Question

【題目】已知等差數列的前n項和，且滿足，，數列是首項為2，公比為q（）的等比數列.

（1）求數列的通項公式；

（2）設正整數k，t，r成等差數列，且，若，求實數q的最大值；

（3）若數列滿足，，其前n項和為，當時，是否存在正整數m，使得恰好是數列中的項？若存在，求岀m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根據等差數列的前項和為，且滿足，，可得數列的通項公式；
（2）根據，，成等差數列與，推導出，從而得出，令，則，從而可得的最大值；
（3）根據題設條件可得，再利用恰好是數列中的項，可得只能為，，，利用分類思想，即可求出的值．

（1）等差數列中，，，

解得，，.

（2）正整數k，t，r成等差數列，且，若，

，，

又整理可得..

又，，令，則，或1.

又，.∴n為奇數，，為遞減數列

∴當時，q取最大值.

（3）由題意得，.

若恰好是數列中的項只能為，，，

第一類：若，則，所以m無解；

第二類：若，則.由題意不符合題意，符合題意.

當時，令（），則，

設，則，

即為增函數，故，為增函數.故，

即當時，無解，即是方程唯一解.

第三類：若，則，即

綜上所述，或.