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【題目】已知函數，.

（1）當，時，求函數在處的切線方程，并求函數的最大值；

（2）若函數的兩個零點分別為，，且，求證：.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）當時，求得斜率和切點的坐標，利用點斜式寫出切線方程.根據函數的導數求得函數的單調區間，由此求得函數的最大值.（2）將兩個零點代入函數的解析式，將得到兩個方程相減，化簡為的表達式，通過令，將所要證明的不等式轉化為證明，構造函數，利用導數證明，由此證得原不等式成立.

（1）解：當，時，，，

則，切點為，故函數在處的切線方程為.

令，則在是減函數，

又，∴，，，，，，

在上是增函數，在是減函數，.

（2）證明：∵，是的兩個零點，不妨設，

∴，

，，

∴，，

相減得：

，

，

∴ ，

令，即證，，

，

令，，，

在上是增函數，又∵，

∴，，命題得證.

練習冊系列答案
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【題目】華為董事會決定投資開發新款軟件，估計能獲得萬元到萬元的投資收益，討論了一個對課題組的獎勵方案:獎金(單位:萬元)隨投資收益(單位:萬元)的增加而增加，且獎金不超過萬元，同時獎金不超過投資收益的.

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【題目】已知函數．

（1）討論的單調性并指出相應單調區間；

（2）若，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數k的取值范圍．

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【題目】設函數，，.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，().

（i）求的取值范圍；

（ii）求證:隨著的增大而增大.

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