Question

【題目】已知圓關于直線對稱，圓心C在第二象限，半徑為．

（1）求圓C的方程．

（2）是否存在直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等？若存在，寫出滿足條件的直線條數（不要求過程）；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，4條.

【解析】

（1）圓關于直線對稱，則圓心在直線上，設圓的標準方程，即可求解；

（2）分直線過原點和不過原點兩類情況，討論直線和圓相切分別求解.

（1）圓關于直線對稱，則圓心在直線上，

設圓心，在第二象限，則，即，

圓的標準方程為：

化為一般方程：，

則，解得：，或（舍去），

所以圓C的方程：；

（2）由題直線l與圓C相切，直線在x軸、y軸上的截距相等，

當直線過原點時，斜率必存在，設斜率為，直線方程與圓相切，

則圓心到直線距離等于半徑，即，

，，有兩個不等實根，即有兩條過原點的直線與圓相切；

當直線不過原點時，設直線方程，與圓相切，

，得，解得或，兩條直線，

所以一共4條直線.