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如圖，已知是橢圓的右焦點；圓與軸交于兩點，其中是橢圓的左焦點.

（1）求橢圓的離心率；
（2）設圓與軸的正半軸的交點為，點是點關于軸的對稱點，試判斷直線與圓的位置關系；
（3）設直線與圓交于另一點，若的面積為，求橢圓的標準方程.

（1）；（2）相切；（3）.

解析試題分析：（1）將點代入圓的方程，得出與的等量關系，進而求出橢圓的離心率；（2）先求出點、的坐標，進而求出直線的斜率，通過直線的斜率與直線的斜率的乘積為，得到，進而得到直線與圓的位置關系；（3）通過為的中位線得到與的面積，從而求出的值，進而求出與的值，從而確定橢圓的標準方程.
試題解析：（1）圓過橢圓的左焦點，把代入圓的方程，得，
故橢圓的離心率；
（2）在方程中令得，可知點為橢圓的上頂點，
由（1）知，，故，，故，
在圓的方程中令可得點坐標為，則點為，
于是可得直線的斜率，而直線的斜率，
，直線與圓相切；
（3）是的中線，，
，從而得，，橢圓的標準方程為.

考點：1.橢圓的離心率；2.直線與圓的位置關系；3.橢圓的方程

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓的方程:,其中．
（1）若圓C與直線相交于,兩點，且,求的值；
（2）在（1）條件下，是否存在直線，使得圓上有四點到直線的距離為，若存在，求出的范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓的方程為,直線的方程為,點在直線上,過點作圓的切線,切點為.
(1)若,試求點的坐標;
(2)若點的坐標為,過作直線與圓交于兩點,當時,求直線的方程;

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓心為點的圓與直線相切．

（1）求圓的標準方程；
（2）對于圓上的任一點，是否存在定點 (不同于原點)使得恒為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知：以點C(t,)(t∈R,t≠0)為圓心的圓與軸交于點O,A，與y軸交于點O,B，其中O為原點
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=–2x+4與圓C交于點M,N，若OM=ON，求圓C的方程

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.
（Ⅰ）求圓方程；
（Ⅱ）點與點關于直線對稱.是否存在過點的直線，與圓相交于兩點，且使三角形（為坐標原點），若存在求出直線的方程，若不存在用計算過程說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知圓，點.

（1）求圓心在直線上，經過點，且與圓相外切的圓的方程；
（2）若過點的直線與圓交于兩點，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，圓：．

（Ⅰ）若圓與軸相切，求圓的方程；
（Ⅱ）已知，圓C與軸相交于兩點（點在點的左側）．過點任作一條直線與圓：相交于兩點．問：是否存在實數，使得？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（13分）已知圓C的方程為x2+（y﹣4）2=4，點O是坐標原點．直線l：y=kx與圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）設Q（m，n）是線段MN上的點，且．請將n表示為m的函數．

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