Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，為的中點，點為線段上的一點.

（1）若，求證：；

（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 根據三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證

(2) 通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點對應的坐標，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值

證明：（1）取中點，連接，，有，

因為，所以，

又因為三棱柱為直三棱柱，

所以平面平面，

又因為平面平面，

所以平面，

又因為平面，

所以

又因為，，平面，平面，

所以平面，

又因為平面，

所以，因為，

所以.

（2）設，如圖以為坐標原點，

分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，

由（1）可知，，所以，

故，，，，，

對平面，，，

所以其法向量可表示為.

又，

所以直線與平面成角的正弦值.