Question

【題目】已知橢圓M：1（a＞b＞0）的長軸長為2，離心率為，過點（0，1）的直線l與M交于A，B兩點，且．

（1）求M的方程；

（2）求點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x2+2y2＝2y．

【解析】

（1）根據題意2a＝2，，解方程組即可求解.

（2）當直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為y＝kx+1，將直線與橢圓聯立，求出交點坐標，再根據中點坐標公式消k即可求出軌跡方程.

（1）由題意可知，長軸長2a＝2，即a，離心率e，

則c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，

所以橢圓M的方程為；

（2）當直線AB的斜率存在且不為0，

設直線AB的方程為y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），

聯立方程組，消去y，整理得（1+2k2）x2+4kx＝0，

解得x1＝0，x2，y1＝1，y2，

由題意可知，P為AB的中點，

所以，消去k，整理得x2+2y2＝2y，

當斜率不存在時，A（0，1），B（0，﹣1），

則P（0，0），滿足x2+2y2＝2y，

所以點P的軌跡方程x2+2y2＝2y．