Question

【題目】已知動直線l過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且與拋物線C交于M，N兩點，且點M在x軸上方．

（1）若線段MN的垂直平分線交x軸于點Q，若|FQ|＝8，求直線l的斜率；

（2）設點P（x0，0），若點M恒在以FP為直徑的圓外，求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x0∈[0，1）∪（1，9）．

【解析】

（1）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設l的方程與拋物線聯立，求出兩根之和及兩根之積，進而可得MN的中點坐標，進而可得MN的中垂線方程，令y＝0可得Q的坐標，進而求出|QF|的值，由題意可得直線l的斜率；

（2）由題意可得∠FMP為銳角，等價于0，求出的表達式，換元等價于h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0恒成立，分兩種情況求出x0 取值范圍．

（1）由題意可得直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為：x＝ty+1，設M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的最大E（x0，y0），

聯立直線與拋物線的方程可得：，

整理可得y2﹣4ty﹣4＝0，

所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，

所以y0＝2t，x0＝ty0+1＝2t2+1，即E（2t2+1，2t），

故線段MN的中垂線方程為：y﹣2t＝﹣t（x﹣2t2﹣1），

令y＝0，則Q（2t2+3，0），

所以|FQ|＝|22+3﹣1|＝8，

解得t，

所以直線l的斜率k；

（2）點M恒在以FP為直徑的圓外，則∠FMP為銳角，等價于0，

設M（，y1），F（1，0），P（x0，0），

則（x0，﹣y1），（1，﹣y1），

故（x0）（1）+y12（1）x0＞0恒成立，

令t，t＞0，原式等價于t2+3t+（1﹣t）x0＞0對任意t＞0恒成立，

即t2+（3﹣x0）4+x0＞0對任意t＞0恒成立，

令h（t）＝t2+（3﹣x0）4+x0，t＞0，

①△＝（3﹣x0）2﹣4x0＜0，即1＜x0＜9，

②，解得0≤x0≤1，又因為x0≠1，故x0∈[0，1），

綜上所述x0∈[0，1）∪（1，9）．