Question

【題目】如圖，三棱柱中，側面，已知，，，點E是棱的中點．

（1）求證：平面ABC；

（2）在棱CA上是否存在一點M，使得EM與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，或

【解析】

（1）利用余弦定理解得，結合勾股定理得到，證得側面，

，繼而可證平面ABC；

（2）以B為原點，分別以，和的方向為x，y和z軸的正方向建立空間直角坐標系，假設存在點M，設，由EM與平面所成角的正弦值為，可求解.

（1）由題意，因為，，，利用余弦定理，

解得，又，，側面，．

又，AB，平面ABC，∴直線平面ABC．

（2）以B為原點，分別以，和的方向為x，y和z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，

則有，，，，

設平面的一個法向量為，，，

，，令，則，，

假設存在點M，設，，，

，，

利用平面的一個法向量為，，得．

即，或，或．