Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等，在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.

方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.

若檢驗結果為陰性，這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.

（1）現有份血液樣本，其中只有份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.

（2）現取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次為.

（i）若，試求關于的函數關系式；

（ii）若，且采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求的最大值.

參考數據：，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）設恰好經過次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，利用古典概型、排列組合能求出恰好經過兩次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；

（2）（i）由已知得，的所有可能取值為、，求出和，從而可求得，由，能求出關于的函數關系式；

（ii）由，可得出，可得，構造函數，利用導數研究函數的單調性，結合題中所給數據可求得的最大值.

（1）設恰好經過次檢驗能把陽性樣本全部檢驗出來為事件，則，

所以，恰好經過次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率為；

（2）（i）由已知得，的所有可能取值為、，

，，

，

由，得，化簡得；

（ii）由題意知，則，，即，，

構造函數，則，

當時，，此時函數單調遞增；

當時，，此時函數單調遞減.

， ，

所以的最大值為.