Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，討論函數與的圖象的交點個數.

Answer 1

【答案】(1) 時，增區間是,無減區間；時，增區間是，減區間是；(2)1個．

【解析】

試題分析：(1)首先求得函數的定義與導函數，然后分、討論函數的單調區間；(2)首先將問題為函數的零點個數，然后分、、、求導研究函數的單調性，由此求得函數零點個數，從而使問題得解．

試題解析：(1) 函數的定義域為.

當時，，所以 的增區間是，無減區間；

當時，，當時，,函數單調遞減；當時，,函數單調遞增.

綜上，當時，函數的增區間是,無減區間；當時，的增區間是，減區間是.

(2)令，問題等價于求函數的零點個數．

①當時，有唯一零點；當時，.

②當時，,當且僅當時取等號，所以為減函數．注意到,所以在內有唯一零點；

③當時，當，或時，時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增．

注意到，

所以在內有唯一零點；

④當時，，或時，時，，

所以在和上單調遞減，在上單調遞增．

注意到，

所以在內有唯一零點.

綜上，有唯一零點，即函數與的圖象有且僅有一個交點.