【題目】已知函數
.
（1）當
，
時，求滿足
的
的值；
（2）若函數
是定義在
上的奇函數.
①存在
，使得不等式
有解，求實數
的取值范圍；
②若函數
滿足
，若對任意
且
，不等式
恒成立，求實數
的最大值.
【答案】(1)
;(2)①
;②
.
【解析】分析：（1）把
，
代入
，求解即可得答案.
（2）①函數
是定義在
上的奇函數，得
，代入原函數求解得
的值，判斷函數為單調性，由函數的單調性可得
的取值范圍.
②由
，求得函數
，代入
，化簡后得
恒成立，令
，
，參數分離得
在時恒成立，由基本不等即可求得
的最大值.
詳解：解：（1）因為，，所以
，
化簡得
，解得
（舍）或
，
所以.
（2）因為是奇函數，所以，所以
，
化簡變形得：
，
要使上式對任意
的成立，則
且
，
解得：
或
，因為的定義域是，所以舍去，
所以
，
，所以
.
①
對任意
，
，
有：
，
因為，所以
，所以
，
因此在上遞增，
因為
，所以
，
即
在
時有解，
當時，
，所以.
②因為，所以，
所以
，
不等式恒成立，即，
令，，則在時恒成立，
因為，由基本不等式可得：
，當且僅當
時，等號成立，
所以
，則實數的最大值為.
|
| 轉化不等式 |
奇函數 | 區間上單調遞增 |
|
區間上單調遞減 |
| |
偶函數 | 對稱區間上左減右增 |
|
對稱區間上左增右減 |
|
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖為函數
的部分圖象，
、
是它與
軸的兩個交點，
、
分別為它的最高點和最低點，
是線段
的中點，且
為等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）將函數圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移
個單位長度得到
的圖象，求的解析式及單調增區間，對稱中心.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學組織了地理知識競賽，從參加考試的學生中抽出40名學生，將其成績（均為整數）分成六組
，
，…，
，其部分頻率分布直方圖如圖所示．觀察圖形，回答下列問題．
（1）求成績在
的頻率，并補全這個頻率分布直方圖：
（2）估計這次考試的及格率（60分及以上為及格）和平均分；（計算時可以用組中值代替各組數據的平均值）
（3）從成績在和的學生中選兩人，求他們在同一分數段的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在《周易》中，長橫“
”表示陽爻，兩個短橫“
”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦，共有
種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個八卦的疊合，即共有放回地取陽爻和陰爻六次，得到六爻，然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題16分）某鄉鎮為了進行美麗鄉村建設，規劃在長為10千米的河流OC的一側建一條觀光帶，觀光帶的前一部分為曲線段OAB，設曲線段OAB為函數
，
（單位：千米）的圖象，且曲線段的頂點為
；觀光帶的后一部分為線段BC，如圖所示.
（1）求曲線段OABC對應的函數
的解析式；
（2）若計劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶MNPQ，綠化帶由線段MQ，QP， PN構成，其中點P在線段BC上．當OM長為多少時，綠化帶的總長度最長？
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