Question

【題目】已知正項數列的前項和為，若,.

（1）證明：當時，；

（2）求數列的通項公式；

（3）設，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）運用已知將n換為n﹣1，作差化簡可得證.（2）結合等差數列的定義和通項公式，分奇偶分別求通項，合并即可得到所求；

（3）求得數列{bn}的通項，運用錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

（1）時，作差得

，又，所以有

（2）因為時，，所以的奇數項是以為首項，2為公差的等差數列；偶數數項是以為首項，2為公差的等差數列；

所以；

所以

（3），

∴Tn＝b1+b2+…+bn﹣1+bn＝14+342+…+（2n﹣3）4n-1+（2n﹣1）4n①

4n+（2n﹣1）4n+1②

①﹣②得：﹣3（2n﹣1）4n+1

解得：

∴