Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點A1,A2,…,An,…B1,B2,…,Bn,…均在拋物線x=y2上,線段AnBn與x軸的交點為Hn.將△OA1B1,△H1A2B2,…,△HnAn+1Bn+1,…的面積分別記為S1,S2,…,Sn+1,….已知上述三角形均為等腰直角三角形,且它們的頂角分別為O,H1,…,Hn,….

（1）求S1和S2的值;

（2）證明:n≤sn≤n2.

Answer 1

【答案】（1）,.（2）答案見解析

【解析】

（1）由OA1:y=x與x=y2聯立可得S1=1, 由H1A2:y=x﹣1與x=y2聯立可得S2=;（2）設A1,A2,…,An,…的縱坐標為x1,x2,…,xn,…,求得xn+1,再利用數學歸納法證明n≤Sn≤n2.

（1）由OA1:y=x與x=y2聯立可得x=0或1,故A1(1,1),即S1=1,

由H1A2:y=x﹣1與x=y2聯立可得x,

故A2(,),

因此S2=()2;

（2）設A1,A2,…,An,…的縱坐標為x1,x2,…,xn,…,

可得Sn=xn2,且HnAn+1:y=x﹣(xn+xn﹣1+…+x1),

與x=y2聯立可得xn+1=xn+12﹣(xn+xn﹣1+…+x1),即=xn+12,

將=xn+12,與=xn2，相減可得xn+1=xn+12﹣xn2,

進而解得xn+1,

下面運用數學歸納法證明n≤Sn≤n2.

當x=1,2時,S1=1,S2=,符合題意;

當n=k時,假設xk≤k成立,

一方面,xk+1

0,即有xk+1;

另一方面,xk+1﹣(k+1)(k+1)

(k)≤0,即有xk+1≤k+1.

可得n=k+1時,xk+1≤k+1.

因此xn≤n,即n≤Sn≤n2.