Question

【題目】如圖1，四棱錐的底面是正方形，垂直于底面，已知四棱錐的正視圖，如圖2所示.

（I）若M是的中點，證明：平面；

（II）求棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

(Ⅰ)由正視圖可知，先證明平面得到.由等腰三角形可得，利用線面垂直的判定定理可得結果； (Ⅱ)在平面PCD內過M作交CD于N，可得棱錐的體積，結合棱錐的體積等于棱錐的體積，從而可得結果.

(Ⅰ)由正視圖可知，

∵PD⊥平面ABCD，∴ PD⊥BC

又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD.

∵，∴BC⊥平面PCD

∵平面PCD，∴DM⊥BC.

又是等腰三角形，E是斜邊PC的中點，所以∴DM⊥PC

又∵，∴DM⊥平面PBC.

(Ⅱ)在平面PCD內過M作MN//PD交CD于N，所以且平面ABCD，所以棱錐M－ABD的體積為

又∵棱錐A－BDM的體積等于棱錐M－ABD的體積，

∴棱錐A－BDM的體積等于.