Question

【題目】已知有窮數列：，，，……，的各項均為正數，且滿足條件：

①；②.

（1）若，，求出這個數列；

（2）若，求的所有取值的集合；

（3）若是偶數，求的最大值（用表示）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據通項公式求具體的項；（2）根據題意分類討論，列出所有可能的情況建立關于的方程；（3）假設從到恰用了次遞推關系，根據的奇偶性分類討論.

試題解析：

解：由①知；由②知，，整理得解得，或，當時，不滿足舍去；∴這個數列為；

若，由①知，∵

，如果由計算沒有用到或者恰用了次，顯然不滿足條件；∴由計算只能恰好次或者次用到，共有下面4種情況：

， ，，則，解得；

若，，，則，解得；

若，，，則，解得；

若，，，則，解得；

綜上，的所有取值的集合為；

依題意，設，由知，，假設從到恰用了次遞推關系，用了次遞推關系，則有其中,

當是偶數時，，無正數解，不滿足條件；

當是奇數時，由得，

，又當時，若，，

有，，即∴的最大值是，即.