Question

【題目】已知數列{an}的首項a1= ，an+1= ，n∈N* ．
（1）求證：數列{ ﹣1}為等比數列；
（2）記Sn= + +…+ ，若Sn＜100，求滿足條件的最大正整數n的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1= ，

∴ = + ，

∴ ，

∵a1= ，

∴ ﹣1= ，

∴ 為以 為首項，以 為公比的等比數列

（2）解：由（1）知 ﹣1= ×（ ）n﹣1，

∴ =2×（ ）n+1，

∴Sn= + +…+ =n+2×（ + +…+ ）=n+2× =n+1﹣ ，

∵Sn＜100，

∴ ，

故nmax=99

【解析】（1）利用數列遞推式，變形可得得 ，從而可證數列 為等比數列；（2）確定數列的通項，利用等比數列的求和公式求和，即可求最大的正整數n．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比關系的確定的相關知識，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．