Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，AD＝AP＝3，點M是棱PD的中點.

（1）求二面角M—AC—D的余弦值；

（2）點N是棱PC上的點，已知直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立空間直角坐標系，根據平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（2）設，由此求得，根據直線與平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值，進而求得.

（1）以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz，

則各點的坐標為A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3)，M(0，，)，

＝(0，0，3)，＝(2，3，0)，＝(0，，)

因為PA⊥平面ABCD，所以平面ACD的一個法向量為＝(0，0，3)，

設平面MAC的法向量為＝(x，y，z)，所以，

即，取＝(3，﹣2，2)，

∴cos<，>＝，

∴二面角M—AC—D的余弦值為；

（2）設，其中，

∴，

∵平面ABCD的一個法向量為＝(0，0，3)，

∴

∵直線MN與平面ABCD所成角的正弦值為，

∴，∴，

化簡得，即，∴.