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【題目】如圖，四棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，.

（1）若，求證：//平面；

（2）若，且三棱錐的體積為，求.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，根據四邊形ABCD為平行四邊形，可得//，然后根據線面平行的判定定理，可得結果.

（2）利用正弦定理，可得，進一步可得，然后根據，可得，最后利用勾股定理，可得結果.

（1）連接交于點，連接.

如圖

由四棱柱的性質可知//，

且，則//.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴.

同理，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴//.

又平面，平面，

∴//平面.

（2）∵，∴.

又，∴.

由正弦定理可得，

解得，

∵，∴，

∴，即.

又平面ABCD，即平面ABCD，

∴，CD，CA兩兩垂直.

∴，

∴，∴.

練習冊系列答案
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【題目】有一個長方形木塊，三個側面積分別為8，12，24，現將其削成一個正四面體模型，則該正四面體模型棱長的最大值為（ ）

A.2B.C.4D.

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【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行，科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為了研究車輛發車間隔時間與乘客等候人數之間的關系，經過調查得到如下數據：

間隔時間（分鐘）

10

11

12

13

14

15

等候人數（人）

23

25

26

29

28

31

調查小組先從這6組數據中選取4組數據求線性回歸方程，再用剩下的2組數據進行檢驗.檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數，再求與實際等候人數的差，若差值的絕對值不超過1，則稱所求方程是“恰當回歸方程”.

（1）若選取的是后面4組數據，求關于的線性回歸方程；

（2）判斷（1）中的方程是否是“恰當回歸方程”；

（3）為了使等候的乘客不超過35人，試用（1）中方程估計間隔時間最多可以設置為多少（精確到整數）分鐘？

附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，.

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【題目】某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫.如圖，該電梯的高為米，它所占水平地面的長為米.該廣告畫最高點到地面的距離為米，最低點到地面距離米.假設某人眼睛到腳底的距離為米，他豎直站在此電梯上觀看視角為.

（Ⅰ）設此人到直線的距離為米，試用含的表達式表示；

（Ⅱ）此人到直線的距離為多少米時，視角最大？

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【題目】為了保障全國第四次經濟普查順利進行，國家統計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北. 湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區，然后再逐級確定普查區域，直到基層的普查小區．在普查過程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶登記．由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經驗．在某普查小區，共有 50 家企事業單位，150 家個體經營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別

順利

不順利

合計

企事業單位

40

50

個體經營戶

50

150

合計

（1）寫出選擇 5 個國家綜合試點地區采用的抽樣方法；

（2）補全上述列聯表（在答題卡填寫），并根據列聯表判斷是否有的把握認為“此普查小區的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”；

（3）根據該試點普查小區的情況，為保障第四次經濟普查的順利進行，請你從統計的角度提出一條建議.

附：

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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【題目】已知是函數的極值點.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求證：函數存在唯一的極小值點，且.

（參考數據：）

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【題目】淘汰落后產能，對生產設備進行升級改造是企業生存發展的重要前提.某企業今年對舊生產設備的一半進行了升級，剩下的一半在今后的兩年內完成升級.為了分析新舊設備的生產質量，從新舊設備生產的產品中各抽取了件作為樣本，對最重要的一項質量指標進行檢測，該項質量指標值落在內的產品為合格品，否則為不合格品.檢測數據如下：

表1：日設備生產的產品樣本頻數分布表

質量指標

頻數

3

16

44

12

22

3

表2：新設備生產的產品樣本頻數分布表

質量指標

頻數

1

20

52

16

10

1

（1）根據表1和表2提供的數據，試從產品合格率的角度對新舊設備的優劣進行比較；

（2）面向市場銷售時，只有合格品才能銷售，這時需要對合格品的品質進行等級細分，質量指標落在內的定為優質品，質量指標落在或內的定為一等品，其它的合格品定為二等品.完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與新舊設備有關；

舊設備

新設備

合計

優質品及一等品

二等品及不合格品

合計

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（3）優質品每件售價元，一等品每件售價元，二等品每件售價元根據表1和表2中的數據，用該組樣本中優質品、一等品、二等品各自在合格品中的頻率代替從合格產品中抽到一件相應等級產品的概率.現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數學期望（結果保留整數）.

附：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

，.

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（2）設的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.

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