Question

【題目】淘汰落后產能，對生產設備進行升級改造是企業生存發展的重要前提.某企業今年對舊生產設備的一半進行了升級，剩下的一半在今后的兩年內完成升級.為了分析新舊設備的生產質量，從新舊設備生產的產品中各抽取了件作為樣本，對最重要的一項質量指標進行檢測，該項質量指標值落在內的產品為合格品，否則為不合格品.檢測數據如下：

表1：日設備生產的產品樣本頻數分布表

質量指標
頻數	3	16	44	12	22	3

表2：新設備生產的產品樣本頻數分布表

質量指標
頻數	1	20	52	16	10	1

（1）根據表1和表2提供的數據，試從產品合格率的角度對新舊設備的優劣進行比較；

（2）面向市場銷售時，只有合格品才能銷售，這時需要對合格品的品質進行等級細分，質量指標落在內的定為優質品，質量指標落在或內的定為一等品，其它的合格品定為二等品.完成下面的列聯表，并判斷是否有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與新舊設備有關；

	舊設備	新設備	合計
優質品及一等品
二等品及不合格品
合計	/span>

（3）優質品每件售價元，一等品每件售價元，二等品每件售價元根據表1和表2中的數據，用該組樣本中優質品、一等品、二等品各自在合格品中的頻率代替從合格產品中抽到一件相應等級產品的概率.現有一名顧客隨機購買兩件產品，設其支付的費用為（單位：元），求的分布列和數學期望（結果保留整數）.

附：

	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

，.

Answer 1

【答案】（1）新設備的性能更高.（2）見解析，有（3）見解析，347

【解析】

（1）分別計算出新、舊設備生產的產品的合格率，由此確定新設備的性能更高.

（2）填寫列聯表，計算的值，由此判斷有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關.

（3）利用相互獨立事件概率計算公式，計算出的分布列，并由此求得數學期望.

（1）由表1可知，舊設備生產的產品合格率約為，

由表2可知，新設備生產的合格率約為.

新設備生產的產品合格率更高，所以新設備的性能更高.

（2）由表1和表2，得列聯表

	舊設備	新設備	合計
優質品及一等品	72	88	160
二等品及不合格品	28	12	40
合計	100	100	200

將列聯表中的數據代入公式計算得：，

因為，

所以有的把握認為該企業生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關.

（3）將表1和表2合并，得

質量指標
頻數	4	36	96	28	32	4

由表可知，從合格品中隨機抽取一件產品，是優等品的頻率（即概率）是，

從合格品中隨機抽取一件產品，是一等品的頻率（即概率）是，

從合格品中隨機抽取一件產品，是二等品的頻率（即概率）是.

由已知得隨機變量的可能取值為.

，，，

，.

所以隨機變量的分布列為：

	240	280	320	360	400

所以.