Question

【題目】在如圖所示的不規則幾何體中，已知四邊形是正方形，四邊形是平行四邊形，平面平面，.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】

（1）由面面垂直的性質定理得到線面垂直，再由線面垂直得到線線垂直；

（2）先建立適當的空間直角坐標系，再利用空間向量法求所求的線面角的正弦值，也可以用傳統法，先找到所求角的余角，再求線面角的正切值.

（1）證明：四邊形是正方形，，

平面平面，且平面平面，

平面，，平面，，

又，，.

，平面，又平面，.

（2）解法一：建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則,

，，，

，設平面的法向量為，

，

不妨令，則，平面的一個法向量為，

則，設直線與平面所成的角為，

則，因為，，

故直線與平面所成角的正切值為3.

解法二：取的中點，連接，四邊形是正方形，

，，平面，平面，

，平面，平面，

，平面平面，

由（1）知，平面，平面，

平面，，又，

平面，取的中點，連接，則，

平面，即所求角的余角，令，

在中，易知，

，

設直線與平面所成的角為，則，

，

故直線與平面所成角的正切值為3.