Question

設函數（其中），區間.
（1）求區間的長度（注：區間的長度定義為）；
（2）把區間的長度記作數列，令，證明：.

Answer 1

（1）（2）見解析

試題分析：（1）由，得，解一元二次不等時即可.
（2）先利用裂項相消法求出=，故,又易知單調遞增，故，即可.
（1）由，得，解得，   3分
即，所以區間的長度為；           6分
（2）由（1）知，                              7分
則
                          10分
因為，故，     11分
又易知單增，故，
綜上.                                                       12分的長度的定義；裂項相消法.