Question

【題目】已知數列滿足，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列的前n項和為，求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)法一：計算出數列前4項，猜想：，用數學歸納法證明即可；法二：所給等式化簡為 所以是等差數列，首項為2，公差為1，求出通項公式即可得解；(2) 先證明時，，

，再證明，即可得證.

解：（1）法一：，且

，

同樣可求得，

猜想：，

以下用數學歸納法證明

①當時，，符合，

②假設時，，

則時，，即，

符合，

綜上：.

法二：由得

，，

即，

是等差數列，首項為2，公差為1，

則.

（2）當時，，

法一：先證明時，，

令，則，

為減函數，

則時，.

時，

，

又即

，

時，，

當時，.

法二：

，

要證明，

即證，

設，

則，

由得：

當時，，

，

，

，

當時，.

法三：由法二知即證，

設

當時，成立，

當時，

，

當時，.