Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦距為．斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為．若，和點共線，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據離心率和焦距求得，由此求得，進而求得橢圓的標準方程.

（2）設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數關系，進而求得點的坐標，同理求得點坐標.求得、，結合三點共線列方程，化簡求得的值.

（1）由題意得，所以，

又，所以，所以，

所以橢圓的標準方程為．

（2）設，，，，

則①，②，

又，所以可設，

直線的方程為，

由消去可得：

，

則，即，

又，代入①式可得，

所以，所以，

同理可得．

故，，

因為三點共線，

所以，

將點的坐標代入化簡可得，

即．