Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.

方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若不是陽性，檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數總共為.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為.現取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（1）若，試求關于的函數關系式；

（2）若與干擾素計量相關，其中是不同的正實數，滿足且都有成立.

（ⅰ）求證：數列為等比數列；

（ⅱ）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求的最大值.

（，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）的最大值為4.

【解析】

（1）由隨機變量的概率公式和數學期望，計算可得所求函數的解析式；

（2）（ⅰ）當時可得，當時，可得，兩式作差可得即可得證；

（ⅱ）運用（�。┑慕Y論和構造函數，求得導數和單調性，計算可得所求最大值.

解：（1）由已知可得，的所有取值為1，，，，

，

由，可得，即，即，即，

可得，，；

（2）（ⅰ）證明：當時，，即，由，得，

因為當時，，

所以，

兩式相減得，

則，可得，因為，所以數列為等比數列，且；

（ⅱ）由（�。┛芍�，，可得，即，所以，設，，，當時，，遞減，又，，則；

，，則，可得的最大值為4.