Question

【題目】已知函數，，其中為常數，函數和的圖象在它們與坐標軸交點處的切線互相平行．

（1）求的值；

（2）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）令，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）分別求出與與y軸和x軸的交點坐標，求出兩函數在與坐標軸交點處的導數，由導數值相等求得a的值；

（2）由（1）中求得的a值得到的解析式，代入，把存在使不等式恒成立轉化為存在，不等式恒成立，構造函數，，利用導數求其最大值后得答案；

（3）把，代入，去絕對值后得到（），借助于兩個輔助函數（），（），證得，，兩式聯立后得答案．

（1）的圖象與軸的交點為，的圖象與軸的交點為，

，（），由，，得；

（2）因為，令，，

則，

所以在上是減函數，所以，

因為“存在，使不等式成立”的充要條件是，

所以的取值范圍為；

（3）（），

記（），因為，所以在上是增函數，

又因為，所以，，所以，①

記（），因為，所以在上是增函數，在上是減函數，

所以，所以，，所以，②

由①②可得，所以，即．