Question

【題目】設函數.

（1）求時，函數的單調區間；

（2）若函數有兩個零點，求正整數的最小值

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）3.

【解析】

（1）當時，對進行求導得，根據導數研究函數的單調性，即可求出函數的單調區間；

（2）先求導得，分兩種情況當和當時，根據導數研究函數的單調性，討論的單調性，如果函數有兩個零點，得出，且，即：，構造函數，求得在區間內為增函數，且，，存在進而得出答案.

解：（1）當時，得，則的定義域為，

，

當時，即，解得：或（舍去），

令，解得：，則時，單調遞增；

令，解得：，則時，單調遞減，

綜上得：函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由題可知，，則的定義域為，

，

當時，，函數在區間內單調遞增，

所以，函數的單調增區間為，無單調減區間；

當時，由，得；由，得，

所以，函數的單調增區間為，，單調減區間為，

如果函數有兩個零點，則，且，

即，即：，

令，則，

可知在區間內為增函數，且，

，

所以存在，，

當時，；當時，，

所以，滿足條件的最小正整數.