Question

【題目】如圖對稱軸為坐標軸，焦點均在軸上的兩橢圓，的離心率相同且均為，橢圓過點且其上頂點恰為橢圓的上焦點．是橢圓上異于，的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線與橢圓交于，兩點．

（1）求橢圓，的標準方程．

（2）證明：．

（3）是否為定值？若為定值．則求出該定值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）是定值，.

【解析】

（1）根據離心率以及橢圓過點，可得的方程，再根據的上頂點橢圓的上焦點，即可得的方程；

（2）直線與橢圓方程分別聯立，分別利用弦長公式，計算即可得證.

（3）先確定直線的斜率與直線的斜率關系，再聯立直線與橢圓方程，利用弦長公式計算與，化簡整理即可得結果.

（1）解：因為橢圓，的焦點在軸上，離心率為，所以設橢圓的方程為．

由橢圓過點，得，

解得，所以橢圓的方程為，

所以橢圓的方程為．

（2）證明：由（1）得，設點，，直線的斜率為，則直線的方程為，

聯立得，

由根與系數的關系，得．

設點，聯立得，

由根與系數的關系，得．

所以，所以，所以，

所以．

（3）解：由（1）得，由（2）得，設直線的斜率為，則直線的方程為．

所以．

由，得，

聯立得，

，

．

聯立得，

，

．

由，得，

所以，為定值．