Question

【題目】已知函數（常數）．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論函數在區間上零點的個數（為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見解析.

【解析】

（1）先根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式得結果；

（2）先求函數最小值，再根據最小值分類討論，結合零點存在定理確定零點個數

（1）當時，，

∴，

∴．

又∵，

∴曲線在處的切線方程為．

（2）∵，

∴．

∵，，

∴當時，，當時，，

∴在上是增函數，在上是減函數．

∴．

討論函數的零點情況如下：

①當，即時，函數無零點，在上也無零點．

②當，即時，函數在內有唯一零點，

而，

∴在內有一個零點．

③當，即時，

由于，，

，

當，即時，，．

由單調性可知，函數在內有唯一零點，在內有唯一零點，則在內有兩個零點；

當，即時，，而且，，

由單調性可知在內有唯一的一個零點，在內沒有零點，

所以在內只有一個零點．

綜上所述，當時，函數在區間上無零點；

當或時，函數在區間上有一個零點；

當時，函數在區間上有兩個零點．