Question

【題目】已知圓 ： （ ）與直線 ： 相切，設點 為圓上一動點， 軸于 ，且動點 滿足 ，設動點 的軌跡為曲線 ．
（1）求曲線 的方程；
（2）直線 與直線 垂直且與曲線 交于 ， 兩點，求 面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設動點 ， 因為 軸于 ，所以 ，
設圓 的方程為
由題意得 ，
所以圓 的程為 .
由題意, ，所以 ，
所以，即
將
代入圓 ,得動點 的軌跡方程
（2）解：由題意設直線l 設直線 與橢圓交于
，聯立方程 得 ，
，解得 ，
，
又因為點 到直線 的距離 ， .
面積的最大值為 ．
【解析】本題主要考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，（1）先根據題意求出圓的方程，再根據圓的方程以及向量坐標求出動點的軌跡方程。
（2）根據已知條件聯立方程，利用韋達定理表示出三角形的面積即可求出。