Question

【題目】某飲料生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2017年度進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，飲料的年銷售量x萬件與年促銷費t萬元間滿足 .已知2017年生產飲料的設備折舊，維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件飲料需再投入32萬元的生產費用，若將每件飲料的售價定為其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則該年生產的飲料正好能銷售完．
（1）將2017年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數；
（2）該企業2017年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？
(注：利潤＝銷售收入－生產成本－促銷費，生產成本＝固定費用＋生產費用)

Answer 1

【答案】
（1）解：當年銷量為x萬件時，成本為3＋32x(萬元)．
飲料的售價為 ×150%＋ × (萬元/萬件)，
所以年利潤y＝ x－(3＋32x＋t)(萬元)，
把x＝ 代入整理得到y＝ ，其中t≥0.
（2）解：由(1)知y＝ ＝ ＝50－ ≤50－2 ＝42(萬元)，
當且僅當 ＝ ，即t＝7時，ymax＝42.
所以該企業2017年的促銷費投入7萬元時，企業的年利潤最大為42萬元．
【解析】（1）確定飲料的售價，即可通過x表示出年利潤y，化簡代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數；
（2）根據已知代入（1）的函數，分別進行化簡，利用關于t的方程必須有兩正根建立關系式，可求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．