Question

【題目】已知函數為常數）.

（1）討論函數的單調區間；

（2）當時,設的兩個極值點恰為的零點, 求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為；當時,的單調遞增區間為；（2）.

【解析】

試題分析：求單調區間，先求得定義域為，再求得導數，可分分別研究的正負，得單調區間；（2）此類問題解決方法是把表示為的函數，因此要想辦法把函數式中參數用表示．首先求得，當時，，這樣有，再由，兩式相減得,

只能求得,而，代入化簡為的代數式，再利用得，同除以可得，這樣可由的范圍求得的取值范圍，這樣利用導數可得的最小值．

試題解析：（1）,

當時,由解得,即當時,單調遞增；由解得,即當時,單調遞減,

當時,,即在上單調遞增；當時,,故,即在上單調遞增.

當時,的單調遞增區間為,單調遞減區間為；當時,的單調遞增區間為.

（2）,則,的兩根即為方程

的兩根,,,

又為的零點,,

兩式相減得,

得,而,

,令,由,得,兩邊同時除以,得,故,解得或.設,則在上是減函數,, 即的最小值為.