Question

【題目】在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，，底面，，，，是的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）上是否存在點，使得三棱錐的體積是三棱錐體積的.若存在，請說明點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）為的中點；理由見詳解.

【解析】

（1）先取中點為，連接，根據題意，證明四邊形為矩形，求出，推出，得到，再由，根據線面垂直的判定定理，得到平面；進而可證明面面垂直；

（2）取中點為，連接， 根據題意，證明平面；求出三棱錐的體積為，再求得三棱錐的體積為，得到，再由三棱錐的體積是三棱錐體積的，得到，進而可得出結果.

（1）取中點為，連接，因為四邊形是直角梯形，，且，，所以，且，

又，所以四邊形為矩形，所以，

因此，

又，所以，因此；

因為底面，所以，

因為，平面，平面，

因此平面；

又平面，所以平面平面；

（2）為的中點，理由如下：

取中點為，連接，

因為，所以，

由底面，平面，可得：平面底面，

因為平面底面，

所以平面；

因此三棱錐的體積為，

又由（1）易知：平面，因為是的中點.

所以三棱錐的體積為，

即，

因此為使三棱錐的體積是三棱錐體積的，

只需，

因此只需點到平面的距離等于的一半，

又點在上，所以為的中點.