Question

【題目】已知函數， ．　

（Ⅰ）當時，求函數的極值；

（Ⅱ）當時，討論函數單調性；

（Ⅲ）是否存在實數，對任意的， ，且，有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； ; （Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時， ，求函數的導數，并且求的 值，判斷兩側的單調性，求極值；（Ⅱ）當時， ，討論兩根和 的大小關系，從而得到函數的單調區間；（Ⅲ）設，將不等式整理為 ，即說明函數是單調遞增函數，即恒成立，求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時，

， ．

當或時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減，

所以時， ；

時， ．

（Ⅱ）當時， ，

①當，即時，由可得或，此時單調遞增；由可得，此時單調遞減；

②當，即時， 在上恒成立，此時單調遞增；

③當，即時，由可得或，此時單調遞增；由可得，此時單調遞減．

綜上：當時， 增區間為， ，減區間為；

當時， 增區間為，無減區間；

當時， 增區間為， ，減區間為．

（Ⅲ）假設存在實數，對任意的， ，且，有恒成立，

不妨設，則由恒成立可得： 恒成立，

令，則在上單調遞增，所以恒成立，

即恒成立，

∴，即恒成立，又，

∴在時恒成立，

∴，

∴當時，對任意的， ，且，有恒成立.