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【題目】已知點為拋物線內一定點，過作兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點．

（1）當時，求△的面積的最小值；

（2）若且，證明：直線過定點，并求定點坐標。

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

設出所在的直線方程，代入拋物線方程，寫出韋達定理，得出點坐標，設出直線的方程，代入拋物線方程，同理得出點坐標. （1）利用面積公式求得面積的表達式，并利用基本不等式求得面積的最小值.（2）先求得直線的斜率，根據點斜式求得直線所在直線方程，利用的表達式進行化簡，由此求得定點.

所在直線的方程為，代入中，得，設，則有，從而．則．設所在直線的方程為，同理可得．

（1），． 又，故，于是△的面積 ，當且僅當時等號成立．所以，△的面積的最小值為.

（2），所在直線的方程為，

即．又，即，代入上式，得，即 ．∵，∴是此方程的一組解，所以直線恒過定點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數， R.

（1）證明：當時，函數是減函數；

（2）根據的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由；

（3）當，且時，證明：對任意，存在唯一的R，使得，且.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面平面,,

分別為棱的中點.

（1）求證: ；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2016年1月1日，我國全面實行二孩政策，某機構進行了街頭調查，在所有參與調查的青年男女中，持“響應”“猶豫”和“不響應”態度的人數如下表所示：

響應

猶豫

不響應

男性青年

500

300

200

女性青年

300

200

300

根據已知條件完成下面的列聯表，并判斷能否有的把握認為猶豫與否與性別有關？請說明理由.

猶豫

不猶豫

總計

男性青年

女性青年

總計

1800

參考公式：

參考數據：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知雙曲線的左、右頂點分別為，直線與雙曲線交于，直線交直線于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若點的軌跡與矩形的四條邊都相切，探究矩形對角線長是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線過定點.

（1）點在圓上運動，求的最小值，并求出此時點的坐標.

（2）若與圓C相交于兩點，線段的中點為，又與的交點為，判斷是否為定值.若是，求出定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于定義域為的函數，若同時滿足下列三個條件：① ；② 當，且時，都有 ；③ 當，且時，都有， 則稱為“偏對稱函數”．現給出下列三個函數： ； ； 則其中是“偏對稱函數”的函數個數為

A. B. C. D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4 — 4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（）．

（1）分別寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，直線與曲線相交于兩點，若，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的兩個焦點分別為，點M(1,0)與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點，設點N(3，2)，記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證：k1+k2為定值．

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