Question

【題目】設為數列的前項和，對任意的，都有，數列滿足， .

（1）求證：數列是等比數列，并求的通項公式；

（2）求數列的通項公式；

（3）求數列的前項和.

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析， ；（2）；（3）.

【解析】試題分析: （1）由可得，兩式相減可得數列是等比數列，進而可求求的通項公式；（2），∴，即.

∴是首項為，公差為1的等差數列，從而可得數列的通項公式；（3）有（1）、（2）可得，利用錯位相減法可得結果.

試題解析:（1）當時， ，解得，

當時， ，即，

∴.

∴數列是首項為1，公比為的等比數列，即.

（2）.

∵，∴，即.

∴是首項為，公差為1的等差數列.

∴，即.

（3），則.

所以，①

則，②

②-①得，

故.

【易錯點晴】本題主要考查等差數列、等比數列、“錯位相減法”求數列的和，以及不等式恒成立問題，屬于難題. “錯位相減法”求數列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數列的和應注意以下幾點：①掌握運用“錯位相減法”求數列的和的條件（一個等差數列與一個等比數列的積）；②相減時注意最后一項 的符號；③求和時注意項數別出錯；④最后結果一定不能忘記等式兩邊同時除以.