Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）當時，討論的單調性；

（3）若有兩個極值點、，且不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）先對函數求導，求出切線方程的斜率，再求出該點的函數值，利用點斜式求解；（2）利用導函數的正負判斷原函數的單調性，再分類討論；（3）從函數在上有兩個極值點，根據韋達定理得到與的關系，分離出參數，從而得到關于的新函數，再求最值.

解：（1）當時，，，，，

所以，函數在處的切線方程為，即；

（2）函數定義域為，，

二次函數的判別式.

①若時，即當時，對任意的，，

此時，函數單調遞增區間為，無減區間；

②若時，即當時，

由，得或.

當，或時，，

當時，，

此時，函數單調遞增區間為，，單調遞減區間為；

（3）由（2）知，，且，

不等式恒成立等價于恒成立，

所以，

令，則，

所以在上單調遞減，所以，所以.

因此，實數的取值范圍是.