Question

【題目】已知為數列的前n項和，，當n≥2時，，又．

(1)求數列的通項公式；

(2)設數列落在區間內的項數為，求數列的前n項和．

Answer 1

【答案】(1) an=n;(2)（n﹣1）2n+1.

【解析】

（1）直接利用遞推關系式求出數列的通項公式；（2）利用（1）的結論，進一步利用乘公比錯位相減法求出數列的和．

（1）已知Sn為數列{an}的前n項和，a1=1，當n≥2時，an﹣1=2an﹣an+1，

即：2an=an﹣1+an+1，

所以數列{an}為等差數列．

又=，

解得：an=n．

（2）數列{an}落在區間內的項數為bk，

所以：第一項為2k﹣1，最后一項為2k﹣1，

所以，

則：，

所以（n﹣1）2n﹣2+n2n﹣1，①

（n﹣1）2n﹣1+n2n②，

①﹣②得：

﹣Tn=（10+21+22+…+2n）﹣n2n，

整理得：，

=（n﹣1）2n+1．