Question

【題目】在直角坐標平面上的一列點，簡記為．若由構成的數列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點列．

（1）判斷，是否為點列，并說明理由；

（2）若為點列，且點在點的右上方．任取其中連續三點，判斷的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；

（3）若為點列，正整數，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）是，理由詳見解析；（2）鈍角三角形，證明詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

(1)根據新定義表示出數列的通項公式，利用作差法比較的大小即可判斷；

(2)由為點列得出的關系，利用兩點間距離公式表示出三角形的各邊長，可以分析得出最大角，結合余弦定理即可判斷；

(3)利用累加的方法可以得出即可證明結論.

(1) 為點列.理由如下：

由題意可知，，所以，，即數列滿足，所以為點列.

(2) 為鈍角三角形.理由如下：

由題意可知，，所以，因為為點列，所以，又點在點的右上方，所以所以對其中連續三點，都有又 所以，所以為最大角，由余弦定理得，故為鈍角，所以為鈍角三角形.

(3)證明：由(2)知，因為為點列，所以.又正整數，滿足，所以不妨設,則相加可得 同理可得，即又，所以.